如何使用骰子的奥秘

骰子是最早的赌博用具之一。本文中我将只讨论标准的现代骰子。这类骰子自然都是立方体，每一面上都有若干个点，其点数分别为1，2，3，4，5和6。相对两面上的点数之和均为7，这样骰子的6个面可以分为三对，即1与6，2与5，3与4。骰子的面恰好有两种配置方式具有这一性质，且这两种方式互为镜像。目前，西方制造的几乎所有骰子的点数为1，2，3的三个面沿着道时针方向围绕着其公共顶点排列。有人告诉我说，在日本，具有这种手掷性的骰子用于除了麻将之外的所有游戏中。麻将这种游戏使用的是与其成镜像的骰子，从现在起，除非另有说明，我将使用西式骰子。

骰子常常是成对掷出，以便得到一个期望的总点数。首先假设骰子是"公平"的，这样掷出时每一面都有1／6的概率。为了计算某一总点数出现的概率，我们必须找出有多少种情形可以得到这一总点数。然后我们把这个数字除以36，即骰子对的总数（注意必须把两个骰子区别开来）。

想象一个骰子是红色而另一个骰子是蓝色有助于理解问题。这样，比如说12这个总点数只能有一种情形，即红色骰子掷出6点，而蓝色骰子也掷出 6点。因此总点数为 12出现的概率为 1／36。另外，总点数为11可以有两种情形得到，即红色骰子掷出6点，蓝色骰子掷出5点，或者红色骰子掷出5点，蓝色骰子掷出6点。这样总点数为 11出现的概率为 2／36，即 1／18。

伟大的数学家和哲学家Gottfried Leibniz认为，掷出 11点和 12点的概率必定是相同的，因为在他看来只有一种情形掷出11这个总点数一一也就是一个骰子掷出6点，而另一个骰子掷出5点。这一理论存在若干问题。最突出的问题或许是它同实验结果完全矛盾。实验结果表明，掷出11点的可能性为掷出12点的可能性的两倍。另外一个问题是，这一理论将导致一个不可靠的结论，即两个骰子掷出某一总点数--不管是多少--的概率小于1。

在有一种游戏掷二骰赌博（craps）中，对这些概率的直观感觉起着关键的作用。掷二骰赌博起源于19世纪40年代。在这种赌博中，一位参赌者（掷骰方）拿出一笔钱作赌注。其他参赌者则"跟进"（fade），也就是赌他们自己选择的一笔数额的钱。如果跟进的钱的总额小于掷骰方开始时下的赌注，则他就把该赌注减少到与这一总额相等。然后掷骰方开始掷一对骰子。如果第一把掷出的骰子的总点数为7或11（称为"天然"点数（natural）），则他马上就赢了这场赌博。如果第一把掷出的骰子的总点数为2，3或12（"craps"），则他就输掉了这场赌博。在其他情况下，掷骰方第一把掷出的总点数--即4，5，6，8，9或10--就是他们的"得分"。此时他必须继续掷下去，力争再次掷出一个得分，然后又掷出一个 7（"craps out"）。如果能掷出这种结果，他就赢了所有赌注，否则他就输得精光。

根据前面提到的各个概率以及这一赌博的规则，可以计算出掷骰方获胜的机会为 244／495，即 49．3％左右。这比胜负机会均等的概率（50%）刚好小一点。职业赌棍可以通过两种方法把这一微小的不利条件转化为优势。一种方法是接受或拒绝与其他参赌者的各种"附带赌"（即超过一般赌注的打赌）。另一种方法则是弄虚作假，在赌博中用掩人耳目的巧妙手法使用做了手脚的骰子。

可以有多种方法在骰子上做手脚。骰子的各面可以巧妙地加以修削，使它们的各个角不成直角，也可以用重物给骰子"灌铅"。这两种方法都可以使骰子掷出某些点数的可能性大于另一些点数。更富有戏剧性的做假手法是用"顶骰"（top）和"底骰"（bottom）来代替标准的骰子。这两个骰子的各面只有3个不同的点数（相对各面的点数相同）。由于任何一位参赌者在任一时候最多只能看到一个骰子的3面，而且所有相邻的面的点数均不相同，所以粗看一下似乎没有什么不正常的情况发生。然而，不可能保证所有顶点上各个面都按标准次序排列。事实上，如果在某一顶点上点数为1，3，5的3个面接反时针方向排列，则在相邻顶点上这3个面就必定按顺时针方向排列。

在掷双骰赌博中，顶骰和底骰可用来达到各种不同的目的。例如，使用一对1－3－5的骰子，永远也不可能掷出7这个总点数，因此用这类骰子一位参赌者永远也不可能赢（crap out）。把一个 1一3-5的骰子和一个2－4－6的骰子合起来用，则不能得出偶数的总点数，因此用这样两个骰子一位参赌者不可能掷出4，6，8或10这些总点数。如果要使这些作弊行径不被人察觉，则顶骰的使用不可太多－一如老是掷出偶数的总点数，那么甚至连最无经验的参赌者也会起疑心的。

许多戏法或聚会上玩的把戏都使用骰子。其中相当多的戏法利用了骰子的相对各面的点数之和为 7这一条规则。Martin Garner在他的着作《数学魔术》中介绍了一个戏法。魔术师转过身去，请一位观众掷3颗标准骰子，然后把朝上的各个面的点数加起来。接着魔术师请这位受骗者拿起任何一个骰子，把其朝下的一面的点数加在前面得到的总数上。最后，这位观众把这个骰子再掷一次，把朝上的一面的点数加在第二个总数上（他必须自己记住所有这些总数）。现在魔术师转回身来，随口报出结果是多少，尽管她并不知道该观众选择的是哪一个骰子。

奥妙何在呢？假定这些骰子朝上一面的点数分别为a，b和c，且该观念选择的是 a骰。最初的总和是 a＋ b＋ c，在这一总和中加上7－a，就得到b＋c＋7。然后把a骰再掷一次，得到的点数为d，于是最终结果为d＋b＋c＋7。接着魔术师看看这三个骰子，它们朝上一面点数的总和为d＋b＋c，这样魔术师只须很快地把这3个数加起来再加上7就大功告成了。

英国难题专家 Henry Ernest Dudene，在他的着作（趣味数学）中介绍了一种不同的把戏。魔术师仍然转过身去，请一位观众掷了个骰子。但现在她是让这位受骗者把第一个骰子的点数乘以2再加5，把这个结果乘以5后再加上第2个骰子掷出的点数，接着再把此结果乘以10，最后再加上第三个骰子掷出的点数。在得知这一结果后，魔术师就立刻报出这三个骰了掷出的点数各为多少。自然该观众得出的最终结果是10（5（2a＋5）＋b）＋c，即 100a＋10b＋c＋250。因此魔术师只须从这个结果中减去250，剩下的三位数中的三个数字就分别是三个骰子所掷出的点数了。其他骰子问题则涉及一些改动了的骰子，它们具有非标准的点数。例如，读者是否能想出一种方法，只用0，1，2，3，4，5或6这几个数字来给一对骰子规定点数，使得这对骰子掷出后其总点数之和的所有各种可能情形（从1到12）出现的机会一样大（答案见本文末尾）？或许最不合符人类直觉的骰子现象是所谓"非可递骰子"。做3个骰子A、B、C，其各面上的点数如下：
A：334488 B：115599 C：226677

在掷了许多次以后，骰子B掷出的点数平均说来将胜过骰子A掷出的点数。事实上，骰子B掷出的点数比骰子A掷出的点数大的概率为5／9。类似地，骰子C掷出的点数比骰子B掷出的点数大的概率也为 5／9。那么骰子 C掷出的点数平均说来显然该比 A掷出的点数大了，对吧？不，恰恰相反，骰子A掷出的点数比骰子C掷出的点数大的概率为5／9。附图阐述了上述说法的理由。你可以用这样一套骰子大赚其钱！让你的赌博对手任挑一个骰子，然后你再选一个可以压倒它的骰子（掷了许多次以后，你的骰子点数超过对手骰子点数的概率大于l／2）再重复这样赌下去。你将在所有赌局的55.55％中获胜。但你的对手却可以自由选择他认为"最佳的"骰子！