骰子的概率总论(2)

再看F(N)。大家注意题目中的“至少”二字，也就是说2个以上骰子的情形时，我们会计入出现1个到N个的同样骰子的概率（比如一共3个骰子，需要掷出至少1个六，我们会把出现1个六、2个六和3个六的情况都计算在内）。本题的解算方法很多，这里介绍简单的一个：先计算本题的否命题，即只出现其他5个数字的所有可能情况数，很简单，是5^(N)。所以用总排列组合数减之即得F(N)=6^(N)-5^(N)。（参见附表一第三列）

所以概率P(N)=F(N)/G(N)=[6^(N)-5^(N)]/[6^N]=1-(5/6)^(N)，表一的第四列即列出1个到5个骰子时我们所需要的概率值。

②N个骰子中，至少含有某2个指定数字中的1个

本题的意思是：骰子扔出前玩家先确定两个数字（当然是1到6中的俩个），然后摇骰开盅，里面的骰子中至少有一个骰子点数等于事先确定的两个数字中的一个。本题中，总排列组合数G2(N)仍为6^N；而F2(N)的计算方法同样可参照上题中先计算否命题的方法，这次有F2(N)=6^(N)-4^(N)。概率P2(N)=F2(N)/G2(N)=[6^(N)-4^(N)]/[6^N]=1-(2/3)^(N)。具体不同个数骰子时的概率值参见附表二第四列。

有同学会问，若把本题扩展到“至少含有某2个指定数字中的2个”的情况时概率会怎样呢？即玩家仍先确定两个数字，然后求结果中至少有2个骰子的点数等于该两个数字中的一个的概率。如我们先定下了1和2这两个数字，那么2个骰子中，出现1-1、1-2、2-1、2-2时即符合题意。这个引申题目的计算稍微复杂些，具体结果参见附表二的第五、六列。

③至少有2个骰子点数一样

通俗地说，就是一把骰子里出现至少有一对骰子点数一样的概率。注意它的表述，“至少有一对”就是说随便是什么数字对都可以，对1、对2、对3、对4……都行，而不是“指定的某数字对”（如我们指定一定是对2出现）的概率，其实细心的同学可以发现，后者其实是前者概率的1/6。我们同样运用否命题法，细看可知其为“所有骰子里没有任意2个点数是相同的（即全是所谓散牌）”。这下好算了：F3否(N)=6!/[(6-N)!]（!为自然数从自己逐次递减1连乘最后到1的表示符号，如6!=6*5*4*3*2*1，2!=2*1），G3否(N)依然=6^N，所以P3否={6!/[(6-N)!]}/(6^N)。而用100%减去P3否，可得本题所求的概率：P3(N)=1-{6!/[(6-N)!]}/(6^N)。
 
借用本题的结果，可以得到“至少有2个骰子的点数是指定的某数”的概率：P3(N)除以6即得。（参见附表三）

④至少有3个骰子点数一样

计算方法为6*[C(5,3)*(5^2)+C(5,4)*(5^1)+C(5,5)]，结果见附表四。
（注：C(n,m)=n!/m!(n-m)!，其中n>=m）

⑤骰子掷出后，所有骰子点数之和的分布情况

参见附表五。具体算法俺就略过了，有兴趣的同学可以自己研究一下。
 

骰子的概率(3)
⑴吹牛
前面说过，吹牛是个技巧性极高的游戏，其输赢取决于两个部分：一是自己骰子掷出后的点数情况，这是不可控的，本文并不是讲如何出老千的；二是玩家的能力和经验，如前述，这是要练的。形象地说，前者就是硬件，后者是软件，和打扑克牌一样，软能力的重要程度要大过骰子的随机分布。因你不可能盘盘都是好牌，而且即使是好牌，被对手看穿了一路牵着鼻子叫的话一样会输，老练的大话骰王通常能把骰子的点数分布情况对自己的影响降到最小，而只在双方水平差不多的情况下输赢和骰形关系比较大。而概率在这里的作用，是帮助玩家尽量把不可控的骰子分布看出一定的规律来，从而尽快培养出吹牛的软能力和经验。

常规的吹牛游戏规则中，要求玩家在单骰（即5粒骰子里没有任何重复的点数）的情况下必须重摇。该规则的直接结果是：每个人都必然有至少一对骰子点数一样。这是个很重要的信息，虽然我们暂时还不知道对方的对子是什么点数。再来看余下的三个骰子，绝大多数吹牛规则里，允许1点在未被玩家叫过的情况下变为任意点数，所以我们这里暂且假设对方那一对不是两个1点（而是2到6中的一对），那剩下三个骰子里如果再有一个该点数的骰子或者1点的话，对方就有至少3个骰子点数一样了，这种情况可能性有多少呢？翻开上面的概率附表对照一下，恰符合情形②的描述，故根据附表二的第四行第六列可知：这个概率高达70.37%！即使我们不做前面的假设（没有对1点），仍因1点可以变做任意点数，故而概率也是同样的。这就是说，对方手中有三个点数一样骰子（包括1点）的概率超过了2/3！
这时候我们便可有针对性地叫牌了，但此时，我们并不知道对方那三个一样的骰子到底是多少点，这就要通过相互叫牌中摸出对方的底细，有经验的老手常常能够设计将对方套出来。当然叫牌时不能乱叫，要根据我们的底牌来叫。所以有时我们手上有某些点数的骰子比较多时，对方手里可能会有几个呢？首先不忙着计算，我们先来归结一下这个问题的表述：即我们已经知道了自己手上的某点数，要猜对方手里有多少个该点数；由于1点可以万变，也就是求对方手里有1点和某个点数的概率。读者马上可以想到，这也属于前面情形②的范围，附表二中第六行告诉我们：对方至少有1个骰子和我们一样的概率是86.83%，至少有2个的概率是53.91%，均超过了五成。

从以上两段分析我们可以知道：对方至少有“三条”的概率达到了七成，虽然我们不知道是什么样的三条；而和我们手上某点数相同的骰子个数为1个可能在8.5成以上，2个的可能也超过一半。所以，在相互叫牌时，如果确认自己数量较多的点数和对方的不一样（比如自己六点多，对方估计是四点多），叫的时候尽量叫住“自己数量+2”（点数是自己数量较多时）和“自己数量+3”（点数是对方数量较多时）的关口。这也是常见的叫法。

关于吹牛，由于具体实战的形势千变万化，我们这里只能简单计算了两个常见的情况。其实在其他场景下，概率分析仍有其应用空间，比如低骰的吹牛游戏（即每人只有1到2粒骰子）时的计算，大家可以自己想想并在实战中运用。大家牢记，概率只提供了一个参考依据，吹牛，关键还是多练习的。

⑵大小

在“大小”的几种玩法，“比大小”是完全随机的游戏，无甚概率计算可言，而在“押大小”和“猜大小”中，就略有可用之处。

“押大小”的常见规则是庄家摇骰（通常是2粒骰子），骰子点数之和为最大值半数以上者为大，反之为小，对家押大或小，开盅后押对则赢。大家仔细再重读几次规则，是否觉得有漏洞？对了，本游戏乍一看似乎很公平，但细心的同学可以发现，按照规则的话，大和小的比率并非一样。2粒骰子之和的最大值是6+6=12，半数就是6，但大过6与小于等于6的骰子之和的概率并不一样。大家打开中篇里的附表五，看2粒骰子的那两列，马上可以看到，大于6的概率是58.33%（把7到12的概率值相加起来而得），小于等于6的概率只有41.67%，二者完全不一样。同样的问题存在于3粒或是更多粒骰子的时候，如3粒和4粒骰子的点数总和的最大值的一半分别为9和12，但它们大于9和12的概率分别是62.50%和66.44%，根本不是50%。因此很明显，本游戏的规则设置有问题。其实，游戏不应该以点数和的最大值半数为分界线，而应该以最大值与最小值的平均数为中线。大家再看看附表五，可以发现2、3、4、5粒骰子时的点数之和的最大概率值分别出现在7、10&11、14、17&18上，恰是点数之和的最大值与最小值平均数：7、10.5、14、17.5。另外，通常酒吧游戏里通常只用2粒骰子，我们查附表五时发现，骰子点数之和分别为2到12共11个数字，无法分成均匀的整数的两半。而只有当骰子总个数是奇数粒骰子时，它们的点数之和的个数才是偶数个，能够均分两半。所以常见的酒吧里的“押大小”游戏的规则都是错误的，正确的玩法应该是3粒骰子，10及以下为小，11及以上为大。我后来查了澳门赌场的押大小玩法，果是3粒骰子，11、10点为大小分界的。这样才真正公平，当然要是除了你别人都没想到这个小秘密的话，你也可以不点破，在错误的规则下每次均押大即可，赢的概率会高很多，嘿嘿……

在“猜大小”游戏中，只用到两粒骰子，所以大家仍然打开中篇中的附表五，同样看2粒骰子那两列。当自己摇出一个较小或较大的点数（之和）时，比如2、3、4、10、11、12等，可以查表看看别人不大于或不小于你的概率。例如自己不幸是3，庄家的规则又是最小点数的人喝，那么和自己点数一样或小于自己的可能性是(1+2)/36=8.33%。知道了这个概率，那么你再决定是喝半杯改规则，还是忍耐下去等那8.33%的人出头，或最终无人出头大家摊牌听天决定。
⑶梭哈

梭哈中的概率，大家一般马上想到的是算对子、葫芦、炸弹之类的出现概率有多少。但其实这并不重要，因第一轮开牌以后，允许最小的人取若干骰子后重摇，与倒数第二小的人再比一次。所以，选取多少粒骰子重摇而能大过对方才是最重要的。以下列出了常用的几个原则并附上战例。

1) 三个骰子博1个数字好过一个骰子博2个数字

根据中篇中的附表一、附表二可知，前者的几率为41.13%，后者则为33.33%，所以显然要取前者。譬如，你有一对3、一对6和一个2，对方有三个3、一个1和一个5。对方比我方大，这时我们是取2重摇来博3和6得一个葫芦，还是取对3和2来博6得到三个6呢？根据前面的分析，虽然取2博3、6得到葫芦牌型比较大，但概率仅有1/3，而取三粒骰子博6的概率则大过4成，反正如果对方再摇大过以后，我们还有机会。所以，本战例中应取对3和2三粒骰子来重摇。

2) 三个骰子博2个数字远远好于三个骰子博1个数字

后者的概率为41.13%，过4成；而前者却高达70.37%，更加好。试举战例如：对方有1、2、3、对5，我方则是1、2、6、对3。初习者也许马上会想到用1、2、6来博3以取得三个3，但还有更好的选择吗？看看牌，对方的对5在对子里并不是最大的，对1和对6均比它大。1和6？我们手里的骰子正好有啊！而且还剩下多达三粒骰子，概率多达7成啊。所以，正确的选择应该是：取2和对3来重摇博1、6。

3) 两个骰子博2个数字也好于三个骰子博1个数字

前者的概率为55.56%（查表二），确实也好于后者的41.13%。我们来看实战：对方是对1、对2、和5，我方还是只有1、2、6、对3。我们没有办法运用例2中的方法，因为对方有两对，而且还有一对1。难道我们只能摇三颗博3？再看看，对手的对2很小嘛，而我们也有1哦。好了没错，我们可以留下1和对3，取2、6两个骰子来博1或3。如果得1，我们则有对1和对3，比对方的对1和对2大；如果得3，那我们就有三个3了，也比对手大。而根据前述概率，这个几率超过一半，有55.56%啊！

从以上例子可以看出，实战中是千变万化的，大家要灵活运用中篇附表中的概率来具体判断。

⑷拔毛

“拔毛”是个全看手气的游戏，概率并不能帮助什么，但可以解答一下游戏中出现的现象。不知玩过的同学有否发现，1粒骰子时因为机率是1/6故而比较难以叫中，但有时就那么2、3粒骰子时，但要叫中其中的点数却非常困难。大家翻开中篇中的附表一，立刻可以发现2粒骰子时要叫中某个点数的概率是30.56%，即使3粒骰子时也只有42.13%，4成多一点。半数都不到，当然叫不中就很正常了，想过半数要增加到4粒骰子才行（51.77%）。而且，由于每次摇骰的初始状态都是一样的，所以每次摇出的概率也是一样的，下次的结果并不受上次结果的影响。有些同学以为比如概率是1/3时，如果前2次都不中，那么第3次就一定中，这是完全错误的。

⑸伍拾壹佰

在本游戏中，概率介入判断是在最后只剩几粒骰子的时候。这时候，是继续摇，弄他多一两个5点和1点，还是该求稳收手呢？通常酒吧里，大家一般在仅剩3粒时停下不再继续了。同学们看看中篇中的附表，可知其实就是附表二的第三、四列描述的情形：在若干粒骰子中，至少含有5点和1点中的一个的概率。据之，我们发现，只有2粒骰子时，这个概率是55.56%，超过一半了；而3粒的时候，竟然有70.37%，高达7成啊。所以，当自己的总点数不高时，3粒甚至2粒骰子的情况完全可以一博，倒霉的机会只有不到一半哦。

⑹摇骰

有些同学可能记不清游戏规则了，这里重写一下：两粒骰子公用，摇前庄家先订下某种规则，如点数相加之和是某数的、或最大的、或最小的，两个一样的，至少含某数的，见红的…；然后每人轮流摇骰，所有人摇完后，恰符合庄家规则者（包括庄家）输，喝酒，若无人符合庄家规则，则庄家输。本游戏对庄家是个考验，因制订的规则若不能使玩家符合而中招的话，庄家自己就要喝酒了。所以如何制订这些规则呢？我们来分析下这些规则下可能中招的概率：
◆ 相加之和是某数：看附表五，2粒骰子点数之和是7的概率最高，为16.67%，即1/6，叫其他数字如8、9等均无7高；
◆ 相加之和最大或最小的：这个无所谓概率，听天由命吧；
◆ 2个骰子点数一样：乍一看这个情况出现的几率似乎不高，但翻开附表三，到第三行的第五、六列，这个几率同样也有16.67%；
◆ 2个骰子中至少有一个的点数是1-6中的某个数字：这个概率前面算过，结果在附表一的第三行：30.56%，很高啊；
◆ 2个骰子中至少有一个颜色是红的：上篇中说过，中国的骰子一般把1点和4点漆成红色，所以本规则也就是要2个骰子里出现1点或4点，查附表二的第三行第三、四列，乖乖，这个概率高达55.56%啊，kao，超过一半了！

由上可见，所谓的“见红”规则是最具杀伤力的，建议同学们玩时先用几次，等其他人想用时则借口此时发现概率太高而禁用，嘿嘿……

⑺三公

“三公”是运气成分百分百的游戏。不过运用中篇里的附表五，我们可以知道所有尾数出现的概率：0(即10): 12.75%，1(即11): 12.75%，2(即12): 11.57%，3(即3和13): 10.19%，4(即4和14): 8.33%，5(即5和15): 7.41%，6(即6和16): 7.41%，7(即7和17): 8.33%，8(即8和18): 10.19%，9: 11.57%。小点数（0、1、2、3）的概率要大于大点数（7、8、9）的，而中间的点数（4、5、6）出现的几率最小。

⑻牛牛

“牛牛”亦是摇完就开盅相互比较的游戏，没有概率参与判断的机会。

⑼七八九

上篇中介绍“七八九”游戏时就说过，本游戏的结果也是纯看运气的。我们可以做的是和“三公”一样，算算这三个点数出现的几率：7: 16.67%，8: 13.89%，9: 11.11%。需要喝酒的概率（8和9）是13.89%+11.11%=25%，恰为1/4。

⑽二十一点

“二十一点”中，虽然是由自己决定是否继续要骰子，但每次庄家都只发一个骰子，1点到6点的概率都是1/6，无甚特别。

⑾数数

“数数”游戏里，比较关键的是如何判断庄家的点数。根据中篇的附表五，我们可以知道越靠近中位数的数字，出现的概率越高。4粒骰子时是14，5粒骰子是17、18，而靠近他们的12-13、15-16（4粒骰子），15-16、19-20（5粒骰子）的概率仅稍次之。大家碰上这些数字时当心便是，不过这些概率只提供了一个参考，具体的情形常常很难说。

⑿三五七

这个游戏与技巧有关，和概率无关。为阿卜杜拉之绝技，因阿卜杜拉还要以此混饭骗mm用，故这里就不作介绍了。大家想知道的话，请酒或介绍mm先

OK，以上基本把所有的骰子游戏都分析了一遍。对于概率的运用，大家要记住以下几点：

◆ 之前也说过多次了，概率分析仅提供了一个判断的参考依据，因概率数值的统计意义是在投掷次数足够多（例如数十万次、数百万次）的前提下得到的，实战时不排除你会很背的时候。
◆ 概率分析运用的地方很多，我上面肯定还有没兼顾到的地方，大家一定要多想多练。
◆ 亦是前面说过的，每次掷骰子时，某种结果的概率都是一样的，不会因为你前面仍不出这个结果而有所改变；千万不要抱着前几次总不行，这次肯定行的心态。
◆ 对吹牛、数数之类的游戏来说，多练习才是应有之道。
◆ 一种玩法下老输的话，赶紧换一种玩法，而且尽量换以上所提到的全靠运气的玩法，这是经验。
◆ 什么游戏都很背的情况下，赶紧买单回家，别痴心妄想mm了，今晚不属于你。